Question

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點．
（1）求證：面EFG⊥面PAB；
（2）求異面直線EG與BD所成的角；
（3）求點A到面EFG的距離．

Answer 1

分析：解法一（1）由已知中ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，可得AD⊥AB，AD⊥PA，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到AD⊥面PAB，結(jié)合E、F分別是線段PA、PD的中點及三角形中位線定理可得EF/AD，結(jié)合線面垂直的第二判定定理可得EF⊥面PAB，再由面面垂直的判定定理得到面EFG⊥面PAB；
（2）取BC的中點M，連接GM、AM、EM，由異面直線夾角的定義可得∠EGM（或其補(bǔ)角）就是異面直線EG與BD所成的角，解△MAE可得答案．
（3）取AB中點H，連接GH，HE，過點A作AT⊥HE于T，則AT就是點A到平面EFG的距離，解Rt△AEH，即可得到點A到面EFG的距離．
解法二：（1）以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，分別求出向量

EF

，

AP

，

AB

的坐標(biāo)，根據(jù)兩個向量數(shù)量積為0，向量垂直，易判斷出EF⊥AP，EF⊥AB，結(jié)合線面垂直的判定定理得到答案．
（2）分別求出向量

EG

，

BD

的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到答案．
（3）求出平面EFC的法向量

n

，及向量

AE

的坐標(biāo)，代入點A到平面EFG的距離公式d=|

AE • n

| n |

|，可得答案．

解答：解法一（1）證明：∵ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，
且PA=AD=2，∴AD⊥AB，AD⊥PA
又AB∩PA=A，∴AD⊥面PAB．…（1分）
∵E、F分別是線段PA、PD的中點，
∴EF/AD，∴EF⊥面PAB．…（2分）
又EF?面EFG，∴面EFG⊥面PAB．…（3分）
（2）解：取BC的中點M，連接GM、AM、EM，則GM∥BD，
∴∠EGM（或其補(bǔ)角）就是異面直線EG與BD所成的角．（4分）
在Rt△MAE中，EM=

EA2+AM2

=

6

，
同理EG=

6

，…（5分）
又GM=

1

2

BD=

2

，∴在△MGE中，cos∠EGM=

EG2+GM2-ME2

2EG•GM

=

6+2-6

2 6 • 2

=

3

6

…（6分）
故異面直線EG與BD所成的角為arccos

3

6

，…（7分）
（3）解：取AB中點H，連接GH，HE，則GH∥AD∥EF，
∴E、F、G、H四點共面，過點A作AT⊥HE于T，
∵面EFGH⊥面PAB，∴AT⊥平面EFGH，…（9分）
∴AT就是點A到平面EFG的距離．…（10分）
在Rt△AEH中，AE=AH=1，
∴AT=

AE•AH

EH

=

1×1

2

=

2

2

，
故點A到平面EFG的距離為

2

2

．…（12分）
解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F(xiàn)（0，1，1），G（1，2，0）．
（1）證明：∵

EF

=（0，1，0），

AP

=（0，0，2），

AB

=（2，0，0），
∴

EF

•

AP

=0×0+1×0+0×2=0，

EF

•

AB

=0×2+1×0+0×0=0，
∴EF⊥AP，EF⊥AB．…（1分）
又∵AP、AB?面PAB，且PA∩AB=A，
∴EF⊥平面PAB．…（2分）
又EF?面EFG，∴平面EFG⊥平面PAB．…（3分）
（2）解：∵

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)，…（4分）
∴cos＜

EG

，

BD

＞=

EG • BD

| EG |•| BD |

=

-2+4

6 •2 2

=

3

6

，…（6分）
故異面直線EG與BD所成的角為arcos

3

6

．…（7分）
（3）解：設(shè)平面EFC的法向量

n

=（x，y，z），…（8分）
則

n • EF =(x，y，z)•(0，1，0)=0 n • EG =(x，y，z)•(1，2，-1)=0

∴

y=0 x+2y-z=0

…（10分）
令z=0，得

n

=（1，0，1）．…（11分）
又

AE

=（0，0，1），∴點A到平面EFG的距離d=|

AE • n

| n |

|=|

1

2

|=

2

2

．…（12分）

點評：本題考查的知識點是向量語言表述直線的垂直關(guān)系，點到平面的距離運算，用空間向量求直線間的夾角，其中解法一（幾何法）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線面關(guān)系的判定、性質(zhì)及相互轉(zhuǎn)換；解法二（向量法）的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將空間線面關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．