Question

如下圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面都
是矩形，是的中點(diǎn)，，.
（1）求證：
（2）求證：平面；
（3）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長度.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

試題分析：（1）利用已知條件得到，，從而證明平面，得到再結(jié)合證明平面，從而得到；（2）連接、證明四邊形為平行四邊形，連接對角線的交點(diǎn)與點(diǎn)的連線為的中位線，再利用線面平行的判定定理即可證明平面；（3）在（1）的前提條件中平面下，選擇以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用法向量將條件“平面與平面所成的銳二面角的大小為”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而求出的長度.
試題解析：（1）因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042829628527.png" style="vertical-align:middle;" />和側(cè)面是矩形，
所以，，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042829706611.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以平面，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042829769469.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以；
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042829815562.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以四邊形是平行四邊形.
連接交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn).
在中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042830112519.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042830174518.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以平面；
（3）由（1）可知，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042828786590.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以平面.
設(shè)G為AB的中點(diǎn)，以E為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則、、、、、，
設(shè)平面法向量為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042830658730.png" style="vertical-align:middle;" />，，
由，得
令，得.
設(shè)平面法向量為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042830798741.png" style="vertical-align:middle;" />，，
由得
令，得.
由平面與平面所成的銳二面角的大小為，
得，
解得.