Question

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的閏面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M為CE的中點(diǎn)．
（I）求證：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,轉(zhuǎn)化思想,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結(jié)合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（II）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BEC與平面ADEF的法向量，代入向量夾角公式，即可求出平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值．

解答： 證明：（I）取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN
在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點(diǎn)，所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN
又因?yàn)锳N?平面ADEF，
且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．（4分）
（II）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），平面ADEF的一個(gè)法向量為

m

=（0，1，0）．
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面BEC的一個(gè)法向量，因?yàn)?span id="qn0xsga" class="MathJye">

BC

=（-2，2，0），

CE

=（0，-4，2）
∴

-2x+2y=0  -4y+2z=0

令x=1，得y=1，z=2
所以

n

=（1，1，2）為平面BEC的一個(gè)法向量
設(shè)平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為θ
則cosθ=

n • m

| n || m |

=

6

6

所以平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為余弦值為

6

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面不同位置關(guān)系（平行和垂直）的判定定理