Question

15．已知可行域$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 3x+y≤4\\ x+3y≥4\end{array}\right.$，若直線(xiàn)$y=kx+\frac{4}{3}$將可行域所表示的圖形的面積平分，則k的值為$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域，如圖的陰影部分，直線(xiàn)$y=kx+\frac{4}{3}$過(guò)定點(diǎn)B（0，$\frac{4}{3}$），當(dāng)其過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)M時(shí)，直線(xiàn)就將陰影部分一分為二，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求中點(diǎn)P的坐標(biāo)，于是先求出兩點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求P的坐標(biāo)，再由斜率的兩點(diǎn)式求斜率即可．

解答 解：易知直線(xiàn)y=kx+$\frac{4}{3}$過(guò)點(diǎn)B（0，$\frac{4}{3}$），作出可行域$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 3x+y≤4\\ x+3y≥4\end{array}\right.$，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)線(xiàn)段AC的中點(diǎn)M時(shí)，平分可行域△ABC的面積，由解得點(diǎn)C（0，4），A（0，$\frac{4}{3}$），由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=4}\\{x+3y=4}\end{array}\right.$，可得B（1，1），
從而P為BC的中點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$），于是k=k_AP=$\frac{\frac{5}{2}-\frac{4}{3}}{\frac{1}{2}-0}$=$\frac{7}{3}$．
故答案為：$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)性規(guī)劃，考查不等式與區(qū)域的關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，訓(xùn)練依據(jù)圖形進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化的能力，數(shù)形結(jié)合綜合性較強(qiáng)．