Question

（2013•薊縣一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD點F是棱PD的中點，點E為CD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAC；
（2）證明：PE⊥AF；
（3）求二面角B-PC-D的大�。�

Answer 1

分析：（1）證明EF∥平面PAC，可直接利用三角形的中位線定理得到EF∥PC，然后由線面平行的判定定理得結論；
（2）要證PE⊥AF，因為PE?面PCD，可證AF⊥面PCD，由已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，易得AF⊥CD，再由PA=AD，點F是棱PD的中點得到AF⊥PD，則問題得證；
（3）由圖形的對稱性可知△PBC≌△PDC，在直角三角形PBC中，過直角頂點B作斜邊PC的垂線，再連結D與垂足，即可得到二面角B-PC-D的平面角，解直角三角形求出邊后利用余弦定理可求二面角的大�。�

解答：（1）證明：如圖，
∵點E，F(xiàn)分別為CD，PD的中點，∴EF∥PC．
∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA=AD，點F是PD的中點，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．
∵PE?平面PDC，∴PE⊥AF．
（3）解：過點B作BH⊥PC于H，連接DH
∵△PBC≌△PDC，∴DH⊥PC
∴∠BHD是二面角B-PC-D的二面角．
設PA=AD=1，在△BHD中，BH=DH=

2 3

，BD=

2

∴cos∠BHD=

2 3 + 2 3 -2

2× 2 3 × 2 3

=-

1

2

，∠BHD=120°
∴二面角B-PC-D的大小為120°．

點評：本題考查了線面平行的判定，考查了由線面垂直得線線垂直，考查了二面角的平面角的求解方法，解答此題的關鍵是尋找二面角的平面角，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．