Question

（本小題14分）已知函數(shù)．

⑴若，求曲線在點處的切線方程；

⑵若函數(shù)在其定義域內為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；

⑶設函數(shù)，若在上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

⑵

⑶

【解析】解:⑴當時，函數(shù)，．，曲線在點處的切線的斜率為．從而曲線在點處的切線方程為，即．

⑵．令，要使在定義域內是增函數(shù)，只需在內恒成立．由題意，的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為，∴，只需，即時，∴在內為增函數(shù)，正實數(shù)的取值范圍是．

⑶∵在上是減函數(shù)，∴時，；時，，即，

①當時，，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸在軸的左側，且，所以在內是減函數(shù)．當時，，因為，所以，，此時，在內是減函數(shù)．故當時，在上單調遞減，不合題意；

②當時，由，所以．又由⑵知當時，在上是增函數(shù)，∴，不合題意；

③當時，由⑵知在上是增函數(shù)，，又在上是減函數(shù)，故只需，，而，，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．