Question

5．紙張的規(guī)格是指紙張制成后，經(jīng)過修整切邊，裁成一定的尺寸．現(xiàn)在我國采用國際標準，規(guī)定以A₀，A₁，A₂，B₁，B₂，…等標記來表示紙張的幅面規(guī)格．復印紙幅面規(guī)格只采用A系列和B系列，其中An（n∈N，n≤8）系列的幅面規(guī)格為：
①A₀，A₁，A₂，…，A₈所有規(guī)格的紙張的幅寬（以x表示）和長度（以y表示）的比例關系都為$x：y=1：\sqrt{2}$；
②將A₀紙張沿長度方向對開成兩等分，便成為A₁規(guī)格，A₁紙張沿長度方向對開成兩等分，便成為A₂規(guī)格，…，如此對開至A₈規(guī)格．現(xiàn)有A₀，A₁，A₂，…，A₈紙各一張．若A₄紙的寬度為2dm，則A₀紙的面積為64$\sqrt{2}$dm²；這9張紙的面積之和等于$\frac{511\sqrt{2}}{4}$dm²．

Answer 1

分析 可設A_i紙張的長度為y_i，i=0，1，…，8，由題意可得y₄=2$\sqrt{2}$，再由等比數(shù)列的通項公式和面積公式，以及求和公式，即可得到所求值．

解答 解：可設A_i紙張的長度為y_i，i=0，1，…，8，
由A₄紙的寬度為2dm，且紙張的幅寬和長度的比例關系都為$x：y=1：\sqrt{2}$，
可得y₄=2$\sqrt{2}$，
由題意可得y₀=2$\sqrt{2}$•2⁴=32$\sqrt{2}$，即有A₀紙的面積為32$\sqrt{2}$×2=64$\sqrt{2}$dm²；
由A₀，A₁，A₂，…，A₈紙9張紙的面積構成一個以64$\sqrt{2}$為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
可得這9張紙的面積之和為$\frac{64\sqrt{2}（1-\frac{1}{{2}^{9}}）}{1-2}$=$\frac{511\sqrt{2}}{4}$dm²．
故答案為：64$\sqrt{2}$，$\frac{511\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查數(shù)列模型的應用題的解法，考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查運算能力，屬于基礎題．