Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+bx的圖象在點（1，-3）處的切線的方程為y=-2x-1．
（1）若對任意x∈[

1

3

，+∞）有f（x）≤m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）+x²+2在區(qū)間[k，+∞）內(nèi)有零點，求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)零點的判定定理

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f′（x）=

a

x

+b，（x＞0）．由于函數(shù)f（x）的圖象在點（1，-3）處的切線的方程為y=-2x-1．可得f′（1）=-2，f（1）=-3，解出a，b．對任意x∈[

1

3

，+∞）有f（x）≤m恒成立?m≥f（x）_max，x∈[

1

3

，+∞）．利用研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，即可得出f（x）_max．
（2）由（1）可得：g（x）=f（x）+x²+2=lnx+x²-3x+2．令g′（x）=0，解得x=

1

2

，1．列表如下，研究函數(shù)的單調(diào)性極值，畫出圖象即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=

a

x

+b，（x＞0）．
∵函數(shù)f（x）的圖象在點（1，-3）處的切線的方程為y=-2x-1．
∴f′（1）=-2，f（1）=-3，
∴

a+b=-2 b=-3

，解得b=-3，a=1．
∴f（x）=lnx-3x．
f′（x）=

1

x

-3=

-3(x- 1 3 )

x

，
∵x∈[

1

3

，+∞），∴f′（x）≤0．
∴當x=

1

3

時，函數(shù)f（x）取得最大值，f(

1

3

)=-ln3-1．
∵對任意x∈[

1

3

，+∞）有f（x）≤m恒成立?m≥f（x）_max，x∈[

1

3

，+∞）．
∴m≥-ln3-1．
∴實數(shù)m的取值范圍是[-ln3-1，+∞）．
（2）由（1）可得：g（x）=f（x）+x²+2=lnx+x²-3x+2．
∴g′（x）=

1

x

+2x-3=

(2x-1)(x-1)

x

，
令g′（x）=0，解得x=

1

2

，1．
列表如下：

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：當x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值g（1）=0；當x=

1

2

時，函數(shù)g（x）取得極大值f（

1

2

）=-ln2+

3

4

．
畫出圖象：
要滿足函數(shù)y=f（x）+x²+2在區(qū)間[k，+∞）內(nèi)有零點，
則實數(shù)k的最大值是1．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、幾何意義、函數(shù)的零點，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化實數(shù)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．