Question

5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點A（4，2$\sqrt{2}$）在橢圓上，且AF₂與x軸垂直．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點F₂作直線與橢圓交于B、C兩點，求△COB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=4，令x=4，代入橢圓方程可得$\frac{^{2}}{a}$=2$\sqrt{2}$，由a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）點F₂（4，0），可設(shè)直線BC：x=ty+4，代入橢圓方程x²+2y²=32，可得y的方程，運用韋達定理，以及三角形的面積公式可得S_△OBC=$\frac{1}{2}$|OF₂|•|y₁-y₂|，化簡整理，運用解不等式即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由A（4，2$\sqrt{2}$）在橢圓上，且AF₂與x軸垂直，
可得c=4，令x=4，代入橢圓方程可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有$\frac{^{2}}{a}$=2$\sqrt{2}$，又a²-b²=16，
解得a=4$\sqrt{2}$，b=4，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{32}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）點F₂（4，0），可設(shè)直線BC：x=ty+4，
代入橢圓方程x²+2y²=32，可得（2+t²）y²+8ty-16=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），可得△=64t²+64（2+t²）＞0
y₁+y₂=-$\frac{8t}{2+{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{16}{2+{t}^{2}}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{64{t}^{2}}{（2+{t}^{2}）^{2}}+\frac{64}{2+{t}^{2}}}$=$\frac{8\sqrt{2（1+{t}^{2}）}}{2+{t}^{2}}$，
S_△OBC=$\frac{1}{2}$|OF₂|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$•4•$\frac{8\sqrt{2（1+{t}^{2}）}}{2+{t}^{2}}$=16$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{1+{t}^{2}}}{2+{t}^{2}}$
=16$\sqrt{2}$•$\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{2}}+\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{2}}}}$≤16$\sqrt{2}$•$\frac{1}{2}$=8$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{1+{t}^{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，即t=0時，△COB面積的最大值為8$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用點滿足橢圓方程，考查三角形的面積的最值的求法，注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理以及基本不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．