Question

設(shè)斜率為k₁的直線L交橢圓C：

x2

2

+y2=1于A、B兩點，點M為弦AB的中點，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標原點，假設(shè)k₁、k₂都存在）．
（1）求k₁?k₂的值．
（2）把上述橢圓C一般化為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其它條件不變，試猜想k₁與k₂關(guān)系（不需要證明）．請你給出在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）中相類似的結(jié)論，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線方程為y=k₁x+b，代入橢圓方程并整理得：（1+2k₁²）x²+4k₁bx+2b²-2=0，x1+x2=-

4k1b

1+2k1 2

，又中點M在直線上，所以

y1+y2

2

=k1(

x1+x2

2

)+b，由此能求出k₁?k₂的值．
（2）對于橢圓，k1•k2=-

b2

a2

，已知斜率為k₁的直線L交雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）于A、B兩點，點M為弦AB的中點，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標原點，假設(shè)k₁、k₂都存在）．則k₁?k₂的值為

b2

a2

．
解法一：設(shè)直線方程為y=k₁x+d，代入

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）方程并整理得：（b²-a²k₁²）x²-2k₁a²dx-a²d²-a²b²=0，由此能求出k1•k2=

b2

a2

．
解法二：設(shè)點A（x₁，y₂），B（x₂y₂），中點M（x₀，y₀），則x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

K2=

y0

x0

=

y1+y2

x1+x2

K1=

(y2-y1)

(x2-x1)

，又因為點A，B在雙曲線上，則

x12

a2

-

y12

b2

=1與

x22

a2

-

y22

b2

=1作差得到k1•k2=

b2

a2

．

解答：（1）解：設(shè)直線方程為y=k₁x+b，代入橢圓方程并整理得：
（1+2k₁²）x²+4k₁bx+2b²-2=0，
x1+x2=-

4k1b

1+2k1 2

，
又中點M在直線上，
∴

y1+y2

2

=k1(

x1+x2

2

)+b，
從而得弦中點M的坐標為（-

2k1b

1+2k2

，

b

1+2k2

），
k2=-

1

2k1

，
∴k1k2=-

1

2

．
（2）對于橢圓，k1•k2=-

b2

a2

已知斜率為k₁的直線L交雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）于A、B兩點，點M為弦AB的中點，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標原點，假設(shè)k₁、k₂都存在）．則k₁?k₂的值為

b2

a2

．
（解一）、設(shè)直線方程為y=k₁x+d，
代入

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）方程并整理，
得：（b²-a²k₁²）x²-2k₁a²dx-a²d²-a²b²=0，

y1+y2

2

=k1(

x1+x2

2

)+d=

b2d

b2-a2k12

，
所以k2=

y1+y2

x1+x2

=

b2

k1a2

，
即k1•k2=

b2

a2

．
（解二）設(shè)點A（x₁，y₂），B（x₂y₂），中點M（x₀，y₀）
則x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

，
K2=

y0

x0

=

y1+y2

x1+x2

，
K1=

(y2-y1)

(x2-x1)

又因為點A，B在雙曲線上，
則

x12

a2

-

y12

b2

=1與

x22

a2

-

y22

b2

=1，
作差得

a2

b2

=

(y2-y1)(y2+y1)

(x2-x1)( x   2 +x1)

=k1

k

2

，
即k1•k2=

b2

a2

．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是計算繁瑣，容易出錯．