Question

已知函數(shù)f（x）=9^x-2•3^x+3k-1（k為常數(shù)）
（1）求函數(shù)f（x）在（-∞，log₃a]上的最小值（a為常數(shù)）；
（2）若方程f（x）=0有兩個實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：分類討論,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)f'（x），分別令大于0，小于0，寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間，對a討論，分a=1，a＞1，a＜1三種情況，求出所給區(qū)間的最小值；
（2）通過換元轉(zhuǎn)化為二次方程有兩個不等的正根，由判別式大于0，根據(jù)根與系數(shù)的關系，列出不等式組，解出即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=9^x-2•3^x+3k-1的導數(shù)f'（x）=9^xln9-2•3^xln3，
令f'（x）＞0則3^xln9•（3^x-1）＞0，即3^x＞1，即x＞0，
令f'（x）＜0則3^xln9•（3^x-1）＜0，即3^x＜1，即x＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上遞增，在（-∞，0）上遞減．
∴①當a=1時，log₃a=0，f（x）在區(qū)間（-∞，0]上有最小值3k-2，
②當a＜1時，log₃a＜0，函數(shù)f（x）在（-∞，log₃a]上遞減，f（log₃a）最小，且為a²-2a+3k-1，
③當a＞1時，log₃a＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，log₃a]上的最小值f（0）且為3k-2，
∴當a≥1時，函數(shù)f（x）在（-∞，log₃a]上的最小值為3k-2，
當a＜1時，函數(shù)f（x）在（-∞，log₃a]上的最小值為a²-2a+3k-1；
（2）令3^x=t（t＞0），則方程f（x）=0即為t²-2t+3k-1=0，
方程f（x）=0有兩個實數(shù)根等價于方程t²-2t+3k-1=0有兩個不等的正根，
∴

4-4(3k-1)＞0 3k-1＞0

即

1

3

＜k＜

2

3

，
∴實數(shù)k的取值范圍是（

1

3

，

2

3

）．

點評：本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用：求單調(diào)區(qū)間，求最值，考查函數(shù)方程轉(zhuǎn)換思想，以及分類討論的重要思想方法，解題中應深刻領會．