Question

17．函數(shù)$f（x）={x^2}+\sqrt{a}x-b+\frac{1}{4}$（a，b是正實數(shù)）只有一個零點，則ab的最大值為$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 由題意可得a+4b=1，由基本不等式可得．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+$\sqrt{a}$x-b+$\frac{1}{4}$只有一個零點，
∴△=a-4（-b+$\frac{1}{4}$）=0，∴a+4b=1，
∴1=a+4b≥2$\sqrt{a•4b}$=4$\sqrt{ab}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=4b=$\frac{1}{2}$時取等號，
∴ab≤$\frac{1}{16}$，
∴ab的最大值為$\frac{1}{16}$，
故答案為：$\frac{1}{16}$．

點評 本題考查基本不等式，得出a+4b=1是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．