Question

已知2x+y=2，且x，y都為正實數(shù)，則xy+

1

xy

的最小值為（　�。�

• A、2
• B、

  3 2

  2

• C、

  9

  8

• D、

  5

  2

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：首先求出根據(jù)基本不等式求出

xy

≤

2

2

，令

xy

=t，（0＜t≤

2

2

）則xy+

1

xy

=t²+

1

t2

，令f（t）=t²+

1

t2

，利用導數(shù)求出單調(diào)性，再求出最小值即可．

解答： 解：∵2x+y=2，
∴2x+y≥2

2xy

∴

xy

≤

2

2

令

xy

=t，（0＜t≤

2

2

）
則xy+

1

xy

=t²+

1

t2

令f（t）=t²+

1

t2

∴f′（t）=

2(t2+1)(t2-1)

t3

當0＜t≤

2

2

時，f′（t）＜0，
∵f（t）在（0，

2

2

]為減函數(shù)，
當t=

2

2

時，f（t）有最小值，最小值為f（

2

2

）=2+

1

2

=

5

2

即xy+

1

xy

的最小值為

5

2

故選：D

點評：本題主要考查了基本不等式的應用和利用導數(shù)求函數(shù)的最值，本題的關鍵是xy+

1

xy

=t²+

1

t2

，考查了轉化思想．