Question

16．已知曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=a+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.（t$是參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出曲線C的普通方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，且|AB|=$\sqrt{14}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)極坐標和普通方程之間的關系即可寫出曲線C的普通方程；
（Ⅱ）根據(jù)直線參數(shù)方程以及兩點間的距離公式進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ得：ρ²=4ρcosθ，
∴x²+y²=4x，
即（x-2）²+y²=4，
所以曲線C的參數(shù)方程：$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+2cosϕ}\\{y=2sinϕ}\end{array}}\right.$（ϕ為參數(shù)），
（Ⅱ）將直線$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=a+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入圓的方程（x-2）²+y²=4，
化簡得${t^2}+\sqrt{2}（a-1）t+{a^2}-3=0$，
由韋達定理${t}_{1}+{t}_{2}=\sqrt{2}$（1-a），t₁t₂=a²-3．
由直線參數(shù)方程的幾何意義知$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{14}$
代入韋達定理得$\sqrt{-2{a^2}-4a+14}=\sqrt{14}$，
解得a=0或者a=-2
（若用直角坐標同等給分）

點評 本題主要考查極坐標方程，參數(shù)方程和普通方程之間的應用，利用參數(shù)方程和極坐標與普通方程之間的關系是解決本題的關鍵．