Question

4．在邊長為a的正方形ABCD中截去一個三角形AEF，點E在AD上．點F在AB上，其中AE=$\frac{a}{6}$，AF=$\frac{a}{3}$，在余下的五邊形EFBCD中，要截一個有最大面積的矩形MNGC，其中點M在CD上，點N在EF上，點G在BC上，應(yīng)該怎樣截法？此時最大面積是多少？

Answer 1

分析 由已知得所截矩形樣式只有一種，其各邊分別與正方開形平行，設(shè)矩形一邊MN為x（$\frac{5a}{6}≤x≤a$），得到矩形MNGC的面積S=MN×NG=x（$\frac{8a}{3}$-2x），由此能求出當(dāng)N，E兩點重合時，面積最大，并能求出最大面積．

解答 解：由已知得所截矩形樣式只有一種，其各邊分別與正方開形平行，
設(shè)矩形一邊MN為x（$\frac{5a}{6}≤x≤a$），
與NG邊的關(guān)系為：2（x-$\frac{5a}{6}$）=（a-NG），
∴NG=a-2x+$\frac{5a}{3}$=$\frac{8a}{3}$-2x，
矩形MNGC的面積S=MN×NG=x（$\frac{8a}{3}$-2x）=$\frac{8a}{3}$x-2x²=-2（x-$\frac{2a}{3}$）²+$\frac{8{a}^{2}}{9}$，
∴當(dāng)x=$\frac{2a}{3}$時，面積有極值，但此取值不在限制范圍內(nèi)，
離此最近的點是x=$\frac{5a}{6}$，即N點與E點重合．
∴當(dāng)N，E兩點重合時，面積最大，最大面積為S_max=-2（$\frac{5a}{6}$-$\frac{2a}{3}$）²+$\frac{8{a}^{2}}{9}$=$\frac{17{a}^{2}}{18}$．

點評 本題考查矩形最大面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．