Question

2．已知定義在R上的函數f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=x²-x，且對任意的x滿足f（x-1）=af（x），a為常數且a≠0，則（　�。�

• A． f（6）＜f（6.5）
• B． f（6.5）＜f（6）
• C． f（6）＜f（7）
• D． f（7）＜f（6）

Answer 1

分析 根據函數的遞推關系，求出函數在[6，7]上的單調性，結合一元二次函數的性質進行判斷即可．

解答 解：∵對任意的x滿足f（x-1）=af（x），a為常數且a≠0，
∴f（x）=$\frac{f（x-1）}{a}$，
若x∈[6，7]，
則x-6∈[0，1]，
則f（x）=$\frac{f（x-1）}{a}$=$\frac{f（x-2）}{{a}^{2}}=\frac{f（x-3）}{{a}^{3}}=…$=$\frac{f（x-6）}{{a}^{6}}$，
∵當x∈[0，1]時，f（x）=x²-x，
∴f（x）=$\frac{f（x-6）}{{a}^{6}}$=$\frac{（x-6）^{2}-（x-6）}{{a}^{6}}$=$\frac{1}{{a}^{6}}$（x²-13x+42），
則函數的對稱軸為x=$\frac{13}{2}$，拋物線開口向上，
則函數在[6，6.5]上單調遞減，在[6，5，7]上單調遞增，
則f（6.5）＜f（6），f（6）=f（7），
故選：B．

點評 本題主要考查函數值的大小比較，根據抽象函數的關系求出函數在[6，7]上的單調性是解決本題的關鍵．