Question

12．如圖，一個(gè)正三棱柱的左視圖是邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$的正方形，則它的外接球的表面積等于（　�。�

• A． 8π
• B． $\frac{25π}{3}$
• C． 9π
• D． $\frac{28π}{3}$

Answer 1

分析 由題意可得：正三棱柱的高是$\sqrt{3}$，底面正三角的高也是$\sqrt{3}$．設(shè)球心為O，半徑為R，△ABC的中心為G，所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以GA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．在△OAG中由勾股定理得：R²=$\frac{25}{12}$．進(jìn)而得到答案

解答 解：因?yàn)檎�三棱柱ABC-DEF的正視圖是邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$的正方形，
所以正三棱柱的高是$\sqrt{3}$，底面正三角的高也是$\sqrt{3}$．
設(shè)它的外接球的球心為O，半徑為R，底面△ABC的中心為G，
所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
GA是正三角形ABC的高的$\frac{2}{3}$，
所以GA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
在△OAG中由勾股定理得：R²=OG²+GA²
解得：R²=$\frac{25}{12}$．
∴球的表面積為4πR²=$\frac{25π}{3}$．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征與及球的定義，在球的內(nèi)接多面體中一般容易出現(xiàn)直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理解決問題即可．