Question

11．已知函數(shù)f（x）=（a-bx³）e^x，$g（x）=\frac{lnx}{x}$，且函數(shù)f（x）的圖象在點（1，e）處的切線與直線2ex+y-1=0平行．
 （Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）-g（x）＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由 f（1）=e，得a-b=1，由f'（x）=（-3x²-x³+2）e^x=-2e，得到a-4b=-2，由此能求出a，b．
（Ⅱ）要證f（x）-g（x）＞2，即證$2{e^x}-{e^x}{x^3}＞2+\frac{lnx}{x}$，令h（x）=2e^x-e^xx³，則h'（x）=e^x（-x³-3x²+2）=-e^x（x+1）（x²+2x-2），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明f（x）-g（x）＞2．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵f（1）=e，∴（a-b）e=e，∴a-b=1…①
依題意，f'（1）=-2e，
又f'（x）=（-3x²-x³+2）e^x，∴a-4b=-2…②
聯(lián)立①②解得a=2，b=1…（5分）
證明：（Ⅱ）要證f（x）-g（x）＞2，即證$2{e^x}-{e^x}{x^3}＞2+\frac{lnx}{x}$…（6分）
令h（x）=2e^x-e^xx³，∴h'（x）=e^x（-x³-3x²+2）=-e^x（x+1）（x²+2x-2）
∴當(dāng)x∈（0，1）時，-e^x＜0，x+1＞0，
令p（x）=x²+2x-2，∵p（x）的對稱軸為x=-1，且p（0）•p（1）＜0
∴存在x₀∈（0，1），使得p（x₀）=0
∴當(dāng)x∈（0，x₀）時，p（x）=x²+2x-2＜0，
∴h'（x）=-e^x（x+1）（x²+2x-2）＞0，即h（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞增
當(dāng)x∈（x₀，1）時，p（x）=x²+2x-2＞0，∴h'（x）=-e^x（x+1）（x²+2x-2）＜0
即h（x）在（x₀，1）上單調(diào)遞減
又∵h(yuǎn)（0）=2，h（1）=e
故當(dāng)x∈（0，1）時，h（x）＞h（0）=2…（10分）
又當(dāng)x∈（0，1）時，$\frac{lnx}{x}＜0$，∴$2+\frac{lnx}{x}＜2$…（11分）
所以$2{e^x}-{e^x}{x^3}＞2+\frac{lnx}{x}$，即f（x）-g（x）＞2…（12分）

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論思想，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．