Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的三個(gè)內(nèi)角大小成等差數(shù)列.

（1）求橢圓的離心率；

（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線，若面積的最大值為，且該橢圓短軸長(zhǎng)小于焦距，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（1）由已知可得或，并且，在中，即可求出離心率；

（2）根據(jù)已知條件可得，進(jìn)而有，橢圓方程化為，直線過(guò)，設(shè)，，，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)系，將表示為的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)特征，求出最大值，建立的方程，求解即可.

（1）的三個(gè)內(nèi)角大小為，，，

又，則或.

所以橢圓的離心率或.

（2）由，所以中，，

，則.

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

直線，，.

直線與橢圓方程聯(lián)立

消去得，

所以

所以

，

令，，

則，當(dāng)時(shí)，恒成立，

故在上單調(diào)遞減，.

所以時(shí)，，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.