Question

若關(guān)于x的方程lnx=ax有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將方程的根的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，求出切線(xiàn)方程，從而求出a的范圍．

解答： 解：顯然a＜0時(shí)，函數(shù)y=lnx，y=ax只有1個(gè)交點(diǎn)，
分別畫(huà)出y=lnx，y=ax（a＞0）的圖象，如圖示：
，
當(dāng)y=lnx，y=ax相切時(shí)，a=

1

x

，
∴y=ax=

1

x

•x=1，此時(shí)y=lnx=1，因此x=

1

e

，
∴兩個(gè)圖象相切時(shí)的斜率k=

1

e

，
∴a的范圍是（0，

1

e

），
故答案為：(0，

1

e

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程的根的存在性問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，是一道綜合題．