Question

6．如圖所示，AB為⊙O的直徑，O為圓心，PB與⊙O相切于點B，PO交⊙O于點D，AD的延長線交PB于點C，若AB=2，PB=2$\sqrt{2}$，則BC=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連接BD，證明△PCD∽△PDB，求出PC，即可求出BC．

解答 解：如圖所示，連接BD，則
∵AB為⊙O的直徑，
∴OA=OB=OD=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵PB是⊙O的切線，
∴AB⊥PB，∠A=∠PBD，
∴OP=$\sqrt{P{B}^{2}+O{B}^{2}}$=3，
∴PD=OP-OD=2，
∵OA=OD，
∴∠A=∠2=∠1，
∴∠1=∠PBD，
∵∠P=∠P，
∴△PCD∽△PDB，
∴$\frac{PD}{PB}=\frac{PC}{PD}$，
∴PC=$\frac{P{D}^{2}}{PB}$=$\sqrt{2}$，
∴BC=PB-PC=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查三角形相似的證明，比較基礎(chǔ)．