Question

已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h(x)=x+

1

x

+2的圖象關(guān)于點A（0，1）對稱．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g(x)=f(x)+

a

x

，且g(x)在區(qū)間(0，2]上的值不小于6，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)f（x）圖象上任一點坐標(biāo)為（x，y），利用點（x，y）關(guān)于點A（0，1）的對稱點（-x，2-y）在h（x）的圖象上，結(jié)合函數(shù)解析式，即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）題意可轉(zhuǎn)化為g(x)=x+

a+1

x

≥6（x∈（0，2]）恒成立，利用分離參數(shù)法，再求出函數(shù)的最值，從而可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)f（x）圖象上任一點坐標(biāo)為（x，y），點（x，y）關(guān)于點A（0，1）的對稱點（-x，2-y）在h（x）的圖象上…（3分）
∴2-y=-x+

1

-x

+2，
∴y=x+

1

x

，∴f(x)=x+

1

x

…（6分）
（Ⅱ）由題意g(x)=x+

a+1

x

，∴g(x)=x+

a+1

x

≥6
∵x∈（0，2]，∴a+1≥x（6-x），即a≥-x²+6x-1，…（9分）
令q（x）=-x²+6x-1=-（x-3）²+8（x∈（0，2]），
∴x∈（0，2]時，q（x）_max=7…（11分）
∴a≥7…（12分）

點評：本題考查函數(shù)圖象的對稱性，考查函數(shù)解析式求解，考查恒成立問題，分離參數(shù)、求最值是關(guān)鍵．