Question

已知函數(shù)f（x）=x-

1

x

-alnx（a∈R）
（1）若f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與圓x²+y²-2y=0相切，求a的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立？如果存在，試求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求得在切點(diǎn)處的切線斜率，以及切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程求得切線方程，求得圓的圓心和半徑，由直線和圓相切的條件可得d=r，計(jì)算即可得到a；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，當(dāng)a＞2時(shí)，當(dāng)a＜-2時(shí)，考慮它們的單調(diào)性，即可判斷a的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=x-

1

x

-alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

，
即有f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為2-a，
又f（1）=0，
則有f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=（2-a）（x-1）．
圓x²+y²-2y=0的圓心為（0，1），半徑為1，
由直線和圓相切可得，

|a-2-1|

1+(2-a)2

=1，
解得a=2；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，
由f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

=

x2-ax+1

x

，
若△=a²-4≤0，即-2≤a≤2，則f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，
即有f（x）在（1，+∞）上遞增，則f（x）＞f（1）=0恒成立；
若△=a²-4＞0即a＞2或a＜-2時(shí)，
當(dāng)a＞2時(shí)，x²-ax+1=0的兩根為x₁=

a- a2-4

2

，x₂=

a+ a2-4

2

．
即有x₁＜1，x₂＞1，則在（1，x₂）上f（x）遞減，在（x₂，+∞）上遞增，
則f（x）＞f（1）=0不恒成立；
當(dāng)a＜-2時(shí)，x₁＜0，x₂＜0，f（x）在（1，+∞）上遞增，則f（x）＞f（1）=0恒成立．
綜上可得，存在實(shí)數(shù)a，且當(dāng)a≤2，使得f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，合理分類，屬于中檔題．