Question

3．△ABC中，$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{tanA}{tanB}$，△ABC是什么三角形？

Answer 1

分析 由已知$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{tanA}{tanB}$，利用正弦定理及同角基本關(guān)系對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合二倍角公式在進(jìn)行化簡(jiǎn)即可判斷．

解答 解：∵$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{tanA}{tanB}$，
由正弦定理可得，$\frac{si{n}^{2}A}{si{n}^{2}B}$=$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{\frac{sinA}{cosA}}{\frac{sinB}{cosB}}$=$\frac{sinAcosB}{sinBcosA}$，
∵sinAsinB≠0
∴$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{cosB}{cosA}$，
∴sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π，
∴A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，即三角形為等腰或直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦定理的應(yīng)用，式子變形是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)，屬于基本知識(shí)的考查．