Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)時，若對任意，存在，使，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時，函數(shù)在（０，１）上單調(diào)遞減；

函數(shù)在（１，＋∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減； 

函數(shù)在上單調(diào)遞增；

函數(shù)上單調(diào)遞減，

（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為

所以

令

（1）當(dāng)

所以，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，此時單調(diào)遞

（2）當(dāng)

即，解得

①當(dāng)時，恒成立，

此時，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；

②當(dāng)

時，單調(diào)遞減；

時，單調(diào)遞增；

，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；

③當(dāng)時，由于

時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；

時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增。

綜上所述：

當(dāng)時，函數(shù)在（０，１）上單調(diào)遞減；

函數(shù)在（１，＋∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減； 

函數(shù)在上單調(diào)遞增；

函數(shù)上單調(diào)遞減，

（Ⅱ）因為，由（Ⅰ）知，

，當(dāng)，

函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，

函數(shù)單調(diào)遞增，所以在（0，2）上的最小值為

由于“對任意，存在，使”等價于

“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值” （*）

又，所以

①當(dāng)時，因為，此時與（*）矛盾；

②當(dāng)時，因為，同樣與（*）矛盾；

③當(dāng)時，因為

解不等式，可得

綜上，的取值范圍是

考點：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值。

點評：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，恒成立問題，往往通過“分離參數(shù)”，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值。涉及對數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。