Question

1．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分別是A₁B₁，CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）用基向量$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{A{C}_{1}}$表示向量$\overrightarrow{DE}$；
（Ⅱ）若AB=AC=AA₁=1，求直線DE與平面AB₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的分解和合成表示向量$\overrightarrow{DE}$．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積求出線面間的正弦值

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{D{A}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}+\overrightarrow{{C}_{1}E}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{{B}_{1}{A}_{1}}+（\overrightarrow{A{C}_{1}}-\overrightarrow{A{A}_{1}}）-\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}_{1}}$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{A{A}_{1}}-\overrightarrow{A{B}_{1}}）+（\overrightarrow{A{C}_{1}}-\overrightarrow{A{A}_{1}}）-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{A{A}_{1}}$
=-$\overrightarrow{A{A}_{1}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{A{B}_{1}}+\overrightarrow{A{C}_{1}}$
（Ⅱ）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)B₁（1，0，1）C₁（0，1，1）D（$\frac{1}{2}$，0，1），E（0，1，2）
設(shè)$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$為平面AB₁C₁的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$
因?yàn)?\overrightarrow{A{B}_{1}}=（1，0，1），\overrightarrow{A{C}_{1}}=（0，1，1）$則$\left\{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，則$\overrightarrow{n}=（1，1，-1）$
因?yàn)?\overrightarrow{DE}=（-\frac{1}{2}，1，-\frac{1}{2}）$，則$cos＜\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{DE}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{3}$
所以直線DE與平面AB₁C₁所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間向量的分解合成和空間直角坐標(biāo)系在立體幾何中得應(yīng)用，屬�？碱}型、中檔題．