Question

11．四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一個(gè)半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是（　�。�

• A． 6
• B． 5
• C． $\frac{9}{2}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由球的球心在四棱錐P-的高上，把空間問(wèn)題平面化，
作出過(guò)正四棱錐的高作組合體的軸截面，利用平面幾何知識(shí)即可求出高．

解答 解：由題意，四棱錐P-ABCD是正四棱錐，球的球心O在四棱錐的高PH上；
過(guò)正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖所示：
其中PE，PF是斜高，A為球面與側(cè)面的切點(diǎn)，
設(shè)PH=h，由幾何體可知，RT△PAO∽R(shí)T△PHF，
∴$\frac{OA}{FH}$=$\frac{PO}{PF}$，即$\frac{1}{3}$=$\frac{h-1}{\sqrt{{h}^{2}{+3}^{2}}}$，
解得h=$\frac{9}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了球內(nèi)切多面體、幾何體的結(jié)構(gòu)特征，把空間問(wèn)題平面化，是解題的關(guān)鍵．