Question

已知焦點在x軸的橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點  在直線（為長半軸，為半焦距）上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求以OM為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程；

（3）設(shè)F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值

 

Answer 1

【答案】

（1）又由點M在準線上，得         

故，    從而                           

所以橢圓方程為                           

（2）以O(shè)M為直徑的圓的方程為

即                                

其圓心為,半徑                              

因為以O(shè)M為直徑的圓被直線截得的弦長為2

所以圓心到直線的距離            

所以，解得

所求圓的方程為                        

（3）方法一：由平幾知：

直線OM：，直線FN：               

由得

所以線段ON的長為定值。                       

方法二、設(shè)，則 

             

又

所以，為定值

【解析】略