Question

4．若函數(shù)f（x）=cos（asinx）-sin（bcosx）沒有零點，則a²+b²的取值范圍是（　�。�

• A． [0，1）
• B． [0，π²）
• C． $[0\;，\;\frac{π^2}{4}）$
• D． [0，π）

Answer 1

分析 先假設函數(shù)存在零點x₀，得出方程：$\sqrt{a^2+b^2}$sin（x₀+φ）=2kπ+$\frac{π}{2}$，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果．

解答 解：假設函數(shù)f（x）存在零點x₀，即f（x₀）=0，
由題意，cos（asinx₀）=sin（bcosx₀），
根據(jù)誘導公式得：asinx₀+bcosx₀=2kπ+$\frac{π}{2}$，
即，$\sqrt{a^2+b^2}$sin（x₀+φ）=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
要使該方程有解，則$\sqrt{a^2+b^2}$≥|2kπ+$\frac{π}{2}$|_min，
即，$\sqrt{a^2+b^2}$≥$\frac{π}{2}$（k=0，取得最小），
所以，a²+b²≥$\frac{π^2}{4}$，
因此，當原函數(shù)f（x）沒有零點時，a²+b²＜$\frac{π^2}{4}$，
所以，a²+b²的取值范圍是：[0，$\frac{π^2}{4}$）．
故答案為：C．

點評 本題主要考查了函數(shù)零點的判定，涉及三角函數(shù)的誘導公式，輔助角公式，方程有解條件的轉(zhuǎn)化，以及運用假設的方式分析和解決問題，屬于難題．