Question

【題目】如果實(shí)系數(shù)、、和、、都是非零常數(shù)．

（1）設(shè)不等式和的解集分別是、，試問是的什么條件？并說明理由．

（2）在實(shí)數(shù)集中，方程和的解集分別為和，試問是的什么條件？并說明理由．

（3）在復(fù)數(shù)集中，方程和的解集分別為和，證明：是的充要條件．

Answer 1

【答案】（1）既不充分也不必要條件；（2）充分不必要條件；（3）充見解析.

【解析】

（1）通過舉反例判斷出推不出，反之也推不出，根據(jù)充要條件的有關(guān)定義得出結(jié)論.

（2）通過舉反例判斷出，推不出兩個(gè)方程的系數(shù)之間的關(guān)系，反之當(dāng)兩個(gè)方程的系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)方程式是同解方程，利用充要條件的有關(guān)定義得到結(jié)論.

（3）兩個(gè)方程的系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，所以兩個(gè)方程是同解方程，充分性得證，由韋達(dá)定理可以證明必要性.

（1）若，，則，

若，則兩個(gè)不等式的系數(shù)之間沒有關(guān)系．

是的既不充分也不必要條件．

（2）若，則兩個(gè)方程的系數(shù)之間沒有關(guān)系．

由于兩個(gè)方程的系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，所以兩個(gè)方程式同解方程．

是的充分不必要條件.

（3）是的充要條件，

由于兩個(gè)方程的系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，所以兩個(gè)方程是同解方程．充分性得證．

當(dāng)時(shí)，由韋達(dá)定理可得，，即，，

從而可得，即必要性成立．