Question

【題目】如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，為的中點．

（Ⅰ）求證：平面

（Ⅱ）若平面平面，異面直線與所成角為60°，且是鈍角三角形，求二面角的正弦值

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）取的中點，連接，證明四邊形為平行四邊形，得到即可

（Ⅱ）由條件得出，然后證明平面，然后以為坐標原點，所在直線為軸、軸建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量即可.

（Ⅰ）證明：取的中點，連接，

因為為的中點，則，且，

又，且，所以，，

所以四邊形為平行四邊形，

所以，平面，平面，

所以平面

（Ⅱ）由題意可知，所以或其補角為異面直線與所成角，

又，為鈍角三角形，所以，

又平面平面，平面平面，，

所以平面，

以為坐標原點，所在直線為軸、軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，

向量，，

設平面的法向量為

由得，令，

得平面的一個法向量為，

同理可得平面的一個法向量為

設二面角的平面角為，

則

則

故二面角的正弦值為