Question

已知拋物線(xiàn)C：x²=2my（m＞0）和直線(xiàn)l：y=x-m沒(méi)有公共點(diǎn)（其中m為常數(shù)）．動(dòng)點(diǎn)P是直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M、N，且直線(xiàn)MN恒過(guò)點(diǎn)Q（1，1）．
（1）求拋物線(xiàn)C的方程；
（2）已知O點(diǎn)為原點(diǎn)，連接PQ交拋物線(xiàn)C于A(yíng)、B兩點(diǎn)，求的值．

Answer 1

解：（1）如圖，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由y=，得y′=，∴PM的斜率為，PM的方程為y=x-y₁
同理得PN：y=x-y₂，
設(shè)P（x₀，y₀）代入上式得 y₀=x₀-y₁，y₀=x₀-y₂，
即（x₁，y₁），（x₂，y₂）滿(mǎn)足方程y₀=x₀-y
故MN的方程為y=x-y₀=x-（x₀-m）
上式可化為y-m=（x-m），過(guò)交點(diǎn)（m，m）
∵M(jìn)N過(guò)交點(diǎn)Q（1，1），
∴m=1
∴拋物線(xiàn)C的方程為x²=2y
（2）設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
則=…（Ⅰ）
∵P（x₀，y₀），Q（1，1）
∴PQ直線(xiàn)方程為y-1=（x-1），
與x²=2y聯(lián)立化簡(jiǎn)x²-x+-2=0
∴x₃x₄=…①，x₃+x₄=…②
把①②代入（Ⅰ）式中，
則分子2x₃x₄-（1+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=…（Ⅱ）
又P點(diǎn)在直線(xiàn)y=kx-1上，
∴y₀=kx₀-1代入（Ⅱ）中得：2x₃x₄-（1+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=0
∴==0
分析：（1）對(duì)C的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，求出導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即切線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)
PM，PN 的方程，將P的坐標(biāo)代入得到MN的方程，據(jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式判斷出MN過(guò)的定點(diǎn)，據(jù)已知求出拋物線(xiàn)C的方程．
（2）設(shè)出直線(xiàn)PQ的方程，將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得解．
點(diǎn)評(píng)：解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題，一般是設(shè)出直線(xiàn)方程，將直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的二次方程，然后利用韋達(dá)定理找突破口．