Question

如圖，已知拋物線：和⊙：，過拋物線上一點作兩條直線與⊙相切于、兩點，分別交拋物線于兩點，圓心點到拋物線準線的距離為．

(Ⅰ)求拋物線的方程；

(Ⅱ)當的角平分線垂直軸時，求直線的斜率；

(Ⅲ)若直線在軸上的截距為，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）拋物線的方程為．（Ⅱ）．

（Ⅲ）當時，．

【解析】（1）求出圓心坐標，拋物線的準線方程，由圓心到準線的距離可求出，就得到拋物線的方程；（2）當的角平分線垂直軸時，可得點，的斜率與的斜率互為相反數(shù).設(shè)出的坐標，表示出的斜率與的斜率，和點在拋物線上，即可求出的斜率.（3）設(shè)出的坐標，由可得的斜率，可寫出的方程，同理得的方程.就得到的方程.令，可得，求出函數(shù)的值域即得到的最小值．

（Ⅰ）∵點到拋物線準線的距離為，

∴，即拋物線的方程為．····························································· 2分

（Ⅱ）法一：∵當的角平分線垂直軸時，點，∴，

設(shè)，，

∴，∴ ，

∴. ··················································································· 5分

．··························································· 7分

法二：∵當的角平分線垂直軸時，點，∴，可得，，∴直線的方程為，

聯(lián)立方程組，得，

∵,

∴，．······································································ 5分

同理可得，，∴．································· 7分

（Ⅲ）法一：設(shè)，∵，∴，

可得，直線的方程為，

同理，直線的方程為，

∴，

，································································· 9分

∴直線的方程為，

令，可得，

∵，∴關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴當時，．·············································································· 12分

法二：設(shè)點，，．

以為圓心，為半徑的圓方程為，·· ①

⊙方程：．······················ ②

①-②得：

直線的方程為．·············· 9分

當時，直線在軸上的截距，

∵，∴關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴當時，．         12分