Question

1．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）求C的參數方程；
（Ⅱ）設點D在C上，C在D處的切線與直線l：y=$\sqrt{3}$x+2垂直，根據（Ⅰ）中你得到的參數方程，確定D的坐標．

Answer 1

分析 （I）圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標方程，利用三角函數基本關系式可得：參數方程．
（II）設切點D（1+cosα，sinα），根據CD∥l，可得$\frac{sinα}{1+cosα-1}$=$\sqrt{3}$，解出即可得出．

解答 解：（I）圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，可得直角坐標方程：x²+y²-2x=0，配方為：（x-1）²+y²=1，圓心C（1，0）．
可得參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α∈[0，π]，α為參數）．
（II）設切點D（1+cosα，sinα），∵CD∥l，則$\frac{sinα}{1+cosα-1}$=$\sqrt{3}$，tanα=$\sqrt{3}$，
解得α=$\frac{π}{3}$，
∴D$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、圓的參數方程、圓的切線的性質、斜率計算公式、相互平行的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．