Question

設(shè)f（x）是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a₁=

1

2

，a_n=f（n）（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的取值范圍是（　　）

• A、[

  1

  2

  ，2）
• B、[

  1

  2

  ，2]
• C、[

  1

  2

  ，1）
• D、[

  1

  2

  ，1]

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)f（x）•f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得數(shù)列{a_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為等比的等比數(shù)列，進(jìn)而可以求得S_n，進(jìn)而S_n的取值范圍．

解答： 解：∵對(duì)任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），
∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），
即

an+1

an

=

f(n+1)

f(n)

=f（1）=

1

2

，
∴數(shù)列{a_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為等比的等比數(shù)列，
∴a_n=f（n）=（

1

2

）ⁿ，
∴S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-（

1

2

）ⁿ∈[

1

2

，1）．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的求和問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）得到數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，屬中檔題．