Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=1+$\frac{sinx}{1+cosx}$的所有正的零點(diǎn)從小到大依次為x₁，x₂，x₃，…，設(shè)α=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₅，則cosα的值是（　　）

• A． 0
• B． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由條件可得sinx+cosx=-1，且1+cosx≠0，求得x=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z；從而求得α=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₅的值；再利用誘導(dǎo)公式求得cosα的值．

解答 解：令函數(shù)f（x）=1+$\frac{sinx}{1+cosx}$=0，求得sinx+cosx=-1，且1+cosx≠0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosx=0}\\{sinx=-1}\end{array}\right.$，∴x=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z．
由題意可得x₁ =$\frac{3π}{2}$，x₂ =2π+$\frac{3π}{2}$，x₃ =4π+$\frac{3π}{2}$，…，x₂₀₁₅ =2014×2π+$\frac{3π}{2}$，
∴α=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₅=（1+2+3+…+2014）2π+2015×$\frac{3π}{2}$，
∴cosα=cos（2015×$\frac{3π}{2}$）=cos（3022π+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{π}{2}$=0，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．