Question

8．已知：命題p：橢圓$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1的焦點(diǎn)在x軸上，命題q：不等式x²+2xy≤m（2x²+y²）對(duì)于一切整數(shù)x，y恒成立．
（1）若p為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若p∧q是假命題，p∨q是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上為假命題，求出m的范圍，
（2）求出q為真命題時(shí)m的范圍，由p∧q是假命題，p∨q是真命題，得到p，q一真一假，求出m的交集即可．

解答 解：（1）∵依題意，要使方程$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1是橢圓的方程，則$\left\{\begin{array}{l}m+1＞0\\ 2-m＞0\\ 2-m≠m+1\end{array}\right.$，解得-1＜m＜2且m≠$\frac{1}{2}$，
又命題p：橢圓$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{2-m＞0}\\{m+1＞2-m}\end{array}\right.$解得$\frac{1}{2}$＜m＜2，
所以，命題p為假命題時(shí)，-1＜m＜$\frac{1}{2}$，
（2）∵q：不等式x²+2xy≤m（2x²+y²）對(duì)于一切整數(shù)x，y恒成立
∴m≥$\frac{{x}^{2}+2xy}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$，
∵$\frac{{x}^{2}+2xy}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$≤$\frac{{x}^{2}+{x}^{2}+{y}^{2}}{2{x}^{2}+{y}^{2}}$=1，
∴m≥1
∵p∧q是假命題，p∨q是真命題，
∴p，q一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜\frac{1}{2}}\\{m≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜m＜2}\\{m＜1}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{2}$＜m＜1，
實(shí)數(shù)m的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，命題的真假的判斷，是綜合性比較高的問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．