Question

（本題滿分14分）已知圓，圓，動(dòng)點(diǎn)到圓,上點(diǎn)的距離的最小值相等.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）點(diǎn)的軌跡上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去點(diǎn)到點(diǎn)的距離的差為，如果存在求出點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）點(diǎn)的軌跡方程是.（2）點(diǎn)的軌跡上不存在滿足條件的點(diǎn).  

【解析】本試題主要是考查了動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求解，以及滿足動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離差為定值的點(diǎn)是否存在的探索性問(wèn)題的運(yùn)用。

（（1）根據(jù)已知設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值相等，所以可知點(diǎn)到圓心的距離相等，因此得到軌跡方程。

（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意可知，得到關(guān)于x,y的方程，然后利用方程有無(wú)解來(lái)判定是否存在的問(wèn)題。

解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

圓的圓心坐標(biāo)為，圓的圓心坐標(biāo)為， 

因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到圓,上的點(diǎn)距離最小值相等，所以,

即，化簡(jiǎn)得，

因此點(diǎn)的軌跡方程是.

（2）假設(shè)這樣的點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082413565119143355/SYS201208241357216250282246_DA.files/image003.png">點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去點(diǎn)到點(diǎn)的距離的差為4，

所以，

，

又點(diǎn)在直線上， 點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解，

消元得，，方程組無(wú)解，

所以點(diǎn)的軌跡上不存在滿足條件的點(diǎn).