Question

【題目】已知數(shù)列，為其前項的和，滿足.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，求證：當(dāng)，時；

（3）已知當(dāng)，且時有，其中，求滿足的所有的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）或者.

【解析】

（1）利用遞推關(guān)系，，，單獨求，即可得出；

（2）法一：直接計算化簡即可證明；法二：利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明；

（3）利用“累加求和”方法、不等式的性質(zhì)、分類討論即可得出.

（1）解：當(dāng)時，

，

又，.

（2）證明：（法一）：，，

.

（法二）：數(shù)學(xué)歸納法：

①時，，，

②假設(shè)（，）時有，

當(dāng)時，

，

是原式成立

由①②可知當(dāng)，時.

（3）解：，.

相加得：

，

，

即，兩邊同時乘以，

，

時，無解，

又當(dāng)時；，

時，；

時，，

時，為偶數(shù)，

而為奇數(shù)，不符合

時，為奇數(shù)，

而為偶數(shù)，不符合.

綜上所述或者.