Question

【題目】試比較nn＋1與(n＋1)n(n∈N*)的大小，分別取n＝1,2,3,4,5加以試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果猜測(cè)一個(gè)一般性結(jié)論．

Answer 1

【答案】答案見解析

【解析】試題分析：本題考査的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法,可以取 ，列出與的前項(xiàng)，然后分別比較其大小，然后由歸納推理猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)時(shí)等式成立，假設(shè)時(shí)命題成立，證明時(shí)命題也成立即可.

試題解析：當(dāng)n＝1時(shí)，nn＋1＝1，(n＋1)n＝2，此時(shí)，nn＋1＜(n＋1)n，

當(dāng)n＝2時(shí)，nn＋1＝8，(n＋1)n＝9，此時(shí)，nn＋1＜(n＋1)n，

當(dāng)n＝3時(shí)，nn＋1＝81，(n＋1)n＝64，此時(shí)，nn＋1＞(n＋1)n，

當(dāng)n＝4時(shí)，nn＋1＝1 024，(n＋1)n＝625，此時(shí)，nn＋1＞(n＋1)n，

根據(jù)上述結(jié)論，我們猜想：當(dāng)n≥3(n∈N*)時(shí)，nn＋1＞(n＋1)n恒成立．

證明：①當(dāng)n＝3時(shí)，nn＋1＝34＝81＞(n＋1)n＝43＝64，

即nn＋1＞(n＋1)n成立；

②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，kk＋1＞(k＋1)k成立，即＞1，

則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＝(k＋1)()k＋1＞(k＋1)()k＋1＝＞1，

即(k＋1)k＋2＞(k＋2)k＋1成立，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也成立，

∴當(dāng)n≥3(n∈N*)時(shí)，nn＋1＞(n＋1)n恒成立．