Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)A，且．將角α的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，交單位圓于點(diǎn)B．記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）若，求x₂；
（Ⅱ）分別過(guò)A，B作x軸的垂線(xiàn)，垂足依次為C，D．記△AOC的面積為S₁，△BOD的面積為S₂．若S₁=2S₂，求角α的值．

Answer 1

（Ⅰ）解：由三角函數(shù)定義，得 x₁=cosα，．
因?yàn)?，，所以 ．
所以 ．
（Ⅱ）解：依題意得 y₁=sinα，． 所以 ，
．
依題意S₁=2S₂ 得 ，即sin2α=-2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α-cos2α，
整理得 cos2α=0．
因?yàn)?，所以 ，所以 ，即 ．
分析：（Ⅰ）由三角函數(shù)定義，得 x₁=cosα=，由此利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinα的值，再根據(jù)，利用兩角和的余弦公式求得結(jié)果．
（Ⅱ）依題意得 y₁=sinα，，分別求得S₁ 和S₂ 的解析式，再由S₁=2S₂ 求得cos2α=0，根據(jù)α的范圍，求得α的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．