Question

【題目】己知函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)為.

（1）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)存在極小值點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是的零點(diǎn)；（2）

【解析】

（1）求得時(shí)的，由單調(diào)性及求得結(jié)果.

（2）當(dāng)時(shí)，，易得存在極小值點(diǎn)，再分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，令，通過(guò)研究的單調(diào)性及零點(diǎn)情況，得到的零點(diǎn)及分布的范圍，進(jìn)而得到的極值情況，綜合可得結(jié)果.

（1）的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，.

易知為上的增函數(shù)，

又，所以是的零點(diǎn).

（2），

① 當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，符合題意.

令，則.

② 當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.

又，，

所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以是的極小值點(diǎn)，符合題意.

③ 當(dāng)時(shí)，令，得.

當(dāng)）時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以.

若，即當(dāng)時(shí)，恒成立，

即在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意.

若，即當(dāng)時(shí)，，

所以，即在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以是的極小值點(diǎn)，符合題意.

綜上，可知，即的取值范圍為.