Question

(本小題滿分13分)

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=" t" >0，，n=1，2，……

(1)若t =，求是等比數(shù)列，并求出{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)若對一切都成立，求t的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）將所給關(guān)系式取導(dǎo)數(shù)，即得遞推關(guān)系式，從而得證，（2）0<t<1

【解析】

試題分析：(1)由題意，，

所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042808430185977705/SYS201304280843386410163553_DA.files/image005.png">，                               ……4分

所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，                       ……5分

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，

所以.                                                         ……7分

(2)由(1)知，，                       ……9分

由，知，故由得，               ……10分

即(－1)()+1<(－1)()+1得－1>0，

又t>0，則0<t<1.                                                        ……13分

考點(diǎn)：本小題主要考查由數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的判定和通項(xiàng)公式的求解，以及恒成立問題的解決.

點(diǎn)評：由數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式有累加法、累乘法和構(gòu)造新數(shù)列法，要根據(jù)遞推關(guān)系式的形式恰當(dāng)選擇.