Question

已知橢圓C的方程為：，其焦點(diǎn)在x軸上，離心率．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足，其中M，N是橢圓C上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值．
（3）在（2）的條件下，問：是否存在兩個定點(diǎn)A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：由，b²=2，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由，得（x₀，y₀）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），
即x₀=x₁+2x₂，y₀=y₁+2y₂，
∵點(diǎn)M，N在橢圓上，
∴
設(shè)k_OM，k_ON分別為直線OM，ON的斜率，由題意知，，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
故
=，
即（定值）　　　　　　　　　　　
（3）證明：由（2）知點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，
∵，
∴該橢圓的左右焦點(diǎn)滿足為定值，
因此存在兩個定點(diǎn)A，B，使得|PA|+|PB|為定值．
分析：（1）根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在x軸上，離心率，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)M，N的坐標(biāo)，利用向量條件尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)M，N在橢圓上，即可證明為定值；
（3）由（2）知點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義可得該橢圓的左右焦點(diǎn)滿足|PA|+|PB|為定值．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查向量知識的運(yùn)用，考查存在性問題的探究，解題的關(guān)鍵是利用向量知識，將向量坐標(biāo)化．