Question

【題目】已知函數(shù)f（x）為對數(shù)函數(shù)，并且它的圖象經(jīng)過點（2 ， ），g（x）=[f（x）]2﹣2bf（x）+3，其中b∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[ ，16]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設f（x）=logax（a＞0且a≠1）

∵f（x）的圖象經(jīng)過點 ，∴ ，即

∴ ，即a=2

∴f（x）=log2x（x＞0）

（2）解：設t=f（x）=log2x，∵ ，∴

∴ ，即

則y=g（t）=t2﹣2bt+3=（t﹣b）2+3﹣b2， ，對稱軸為t=b

①當 時，y=g（t）在 上是增函數(shù)，

②當 時，y=g（t）在 上是減函數(shù)，在（b，4]上是增函數(shù)，

③當b＞4時，y=g（t）在 上是減函數(shù)，ymin=g（4）=19﹣8b

綜上所述，

【解析】（1）設f（x）=logax（a＞0且a≠1，代值計算即可求出函數(shù)的解析式，（2）設t=f（x）=log2x則y=g（t）=（t﹣b）2+3﹣b2 ， 對稱軸為t=b，再利用對稱軸與區(qū)間的位置關系，進行分類討論，從而可求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[ ，16]上的最小值
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)的最值及其幾何意義，掌握利用二次函數(shù)的性質（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值即可以解答此題．