Question

5．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=S_n-1+2a_n-1+1，（n≥2，n∈N^*），且a₁=3．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設${b_n}={log_2}（\frac{1}{{{a_n}+1}}）$，求證：$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件，推出新數列是等比數列，然后求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）化簡${b_n}={log_2}（\frac{1}{{{a_n}+1}}）$，利用裂項消項法求解數列的和即可證明結果．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N^*）
∴a_n+1=2（a_n-1+1）…..（3分）
{a_n+1}是等比數列，公比為2，首項為：a₁+1=4
∴${a_n}+1=4×{2^{n-1}}$…（5分）
∴${a_n}={2^{n+1}}-1$…（6分）
（Ⅱ）證明：${b_n}={log_2}（\frac{1}{{{a_n}+1}}）$=$lo{g}_{2}（\frac{1}{{2}^{n+1}-1+1}）$=-n-1，
$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$$+…+\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$$+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$$＜\frac{1}{2}$成立．

點評 本題考查數列的遞推關系式的應用，數列求和，考查轉化思想以及計算能力．