Question

在圓x²+y²-2x-6y=0內(nèi)，過點E（0，1）的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為

10

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓的標準方程求出圓心M的坐標和半徑，最長的弦即圓的直徑，故AC的長為2

10

，最短的弦BD和ME垂直，且經(jīng)過點E，由弦長公式求出BD的值，再由ABCD的面積為

1

2

AC×BD 求出結(jié)果．

解答：解：圓x²+y²-2x-6y=0 即 （x-1）²+（y-3）²=10 表示以M（1，3）為圓心，以

10

為半徑的圓．
由圓的弦的性質(zhì)可得，最長的弦即圓的直徑，AC的長為2

10

．
∵點E（0，1），∴ME=

1+4

=

5

．
弦長BD最短時，弦BD和ME垂直，且經(jīng)過點E，此時，BD=2

MB2-ME2

=2

10-5

=2

5

．
故四邊形ABCD的面積為

1

2

AC×BD=10

2

，
故答案為 10

2

．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，兩點間的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．