Question

已知圓C：x²+y²-2x-2y+1=0．
（1）求過(guò)點(diǎn)（，1）且被圓截得弦長(zhǎng)為的直線(xiàn)方程．
（2）直線(xiàn) l：y=kx，l與圓C交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（0，b）且MA⊥MB當(dāng)b=1時(shí)，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)，即可得到圓心與已知點(diǎn)連線(xiàn)與弦所在的直線(xiàn)垂直，根據(jù)圓心與已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同寫(xiě)出連線(xiàn)的方程，顯然根據(jù)已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可寫(xiě)出所求直線(xiàn)的方程；
（2）把直線(xiàn)l的方程與圓C的方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根的判別式大于0，列出關(guān)于k的不等式，求出k的范圍，根據(jù)韋達(dá)定理表示出兩個(gè)之和與兩根之積，由M的坐標(biāo)及A，B的坐標(biāo)表示出與，由MA⊥MB，得到，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)后，將b=1代入即可得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
解答：解：（1）把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+（y-1）²=1，
所以圓心坐標(biāo)為（1，1），r=1，
根據(jù)題意可知：圓心（1，1）與點(diǎn)（，1）的連線(xiàn)與所求直線(xiàn)垂直，
由圓心（1，1）與點(diǎn)（，1）的連線(xiàn)的方程為y=1，
得到所求直線(xiàn)的方程為：；
（2）聯(lián)立得，
整理得（k²+1）x²-（2k+2）x+1=0，
由△＞0得k＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又M（0，b），
由韋達(dá)定理得：，，
由MA⊥MB得：，即（k²+1）x₁x₂-kb（x₁+x₂）+b²=0，
把b=1代入得：1-+1=0，即2k=2，
解得：k=1．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，韋達(dá)定理及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算．要求學(xué)生理解兩向量垂直時(shí)其數(shù)量積為0，同時(shí)注意利用韋達(dá)定理時(shí)根的判別式要大于等于0，即方程要有實(shí)數(shù)根．熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．