Question

（本題滿分12分）如圖，已知平面，平面，△為等邊三角形，，為的中點.

(1)求證：平面；

(2)求證：平面平面；

(3)求直線和平面所成角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析；       (2)見解析；         (3)

【解析】方法一：

(1) 證法一：取的中點，連.

∵為的中點，∴且. …………1分

∵平面，平面，

∴，∴.                    …………2分

又，∴.                  …………3分

∴四邊形為平行四邊形，則.    …………4分

∵平面，平面，

∴平面.                          …………5分

證法二：取的中點，連.

∵為的中點，∴.                     …………1分

∵平面，平面，∴.             …………2分

又，

∴四邊形為平行四邊形，則.                …………3分

∵平面，平面，

∴平面，平面.

又，∴平面平面.             …………4分

∵平面，

∴平面.                      …………5分

(2) 證：∵為等邊三角形，為的中點，∴.      …………6分

∵平面，平面，∴.           …………7分

又，故平面.                   …………8分

∵，∴平面.                       …………9分

∵平面，

∴平面平面.                 …………10分(3)

解：在平面內，過作于，連.

∵平面平面， ∴平面.

∴為和平面所成的角.                  …………12分

設，則，

，

R t△中，.

∴直線和平面所成角的正弦值為.…………14分

方法二：

設，建立如圖所示的坐標系，則

.…………2分

∵為的中點，∴.                …………3分

(1) 證：，    …………4分

∵，平面，∴平面.  …………5分

(2) 證：∵，   …………6分

∴，∴.      …………8分

∴平面，又平面，

∴平面平面.                    …………10分

(3) 解：設平面的法向量為，由可得：

，取.       …………12分

又，設和平面所成的角為，則

.

∴直線和平面所成角的正弦值為.             …………14分