Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且點(diǎn)在橢圓C上.橢圓C的左頂點(diǎn)為A.

（1）求橢圓C的方程

（2）橢圓的右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，求三角形APQ的面積；

（3）過(guò)點(diǎn)A作直線與橢圓C交于另一點(diǎn)B.若直線交軸于點(diǎn)C，且，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率和過(guò)點(diǎn)坐標(biāo)，可得關(guān)于的方程，解方程即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)直線PQ的方程為與橢圓聯(lián)立得：，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，可求得三角形的面積；

（3）由題意知直線的斜率存在，設(shè)的方程為：，利用可得關(guān)于的方程，解方程即可得答案；

（1）由題意知：

解得：，所以，所求橢圓C的方程為.

（2）設(shè)直線PQ的方程為與橢圓聯(lián)立得：

其判別式

所以，則

又點(diǎn)A到直線PQ的距離為

所以三角形APQ的面積為

（3）由題意知直線的斜率存在，設(shè)為，過(guò)點(diǎn)，則的方程為：，

聯(lián)立方程組，消去整理得：，

恒成立，令，

由，得，

將代入中，得到，得，

解得：，.所以直線的斜率為.